Кстати, если выкинуть условие непрерывности, то будет ли контрпример?
Раздумывая над этим, я припомнил любимых уродов Сергея Борисовича Стечкина (он называл уродами контрпримеры к ослабленным теоремам).
Вот два упражнения (задачами назвать было бы слишком сильно).
1) Построить функцию от двух переменных, непрерывную по каждой из них и не являющуюся непрерывной.
2) То же, но требуется непрерывность не только по каждой переменной, но и по любому направлению
