Александр Бугаев (a_bugaev) wrote,
Александр Бугаев
a_bugaev

К задаче про многочлен от x и y

Пока полного решения этой задачи никто не привел. Там в ответах приведен план решения, но в нем используются совершеннонедоказанные предположения о непрерывности.
Главное - не доказано ключевое утверждение, а именно ограниченность степеней хоть в какой-нибудь окрестности. Т.е. нужно исходя из условия доказать, что невозможна ситуация, когда в любой окрестности (например, по y) встречаются сколь угодно высокие степени (многочленов от x).
Если это доказать, то дальше план такой:
1) Записываем (в этой окрестности) F(x,y) как многочлен N-й степени от x с коэффициентами от y:
F(x,y) = ΣGi(y)xi
2) Доказываем, что коэффициенты непрерывны (можно взять N различных точек xn, и коэффициенты Gi разложатся в линейную комбинацию функций Hn(y) = F(xn,y)
3) То же самое - по степеням y
4) На прямоугольной области (произведении найденных окрестностей) имеем две тождественно равных функции ΣGi(y)xi == ΣPj(x)yj c непрерывными коэфициентами разложения.
Отсюда легко получить вид ΣΣAijxiyj
5) Дальше просто распространяем прямоугольную область - на две полосы и на всю плоскость

Кстати, в доказательстве ограниченности степеней существенна полнота R2.
На Q2 можно построить контрпример. Например, взять бесконечный (по степеням x) ряд и на y=p/q ограничиться q-ой степенью по x.
Tags: mathematics
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 3 comments